Teselaciones y mosaicos.M.C.ESCHER

Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:-Que no queden huecos -Que no se superpongan o traslapen las figuras. Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.MosaicosUn mosaico era una obra compuesta de rocas. También puede estar hecha de madera. Por extensión se llama mosaico a cualquier obra realizada con fracciones diversas.

Matemáticas y arte

Aleksandr RódchenkoRódchenko nació en San Petersburgo, su familia se mudó a Kazan en 1902 y estudió en la Escuela de Arte de Kazán, donde impartían clase Nikolái Vesnín y Georgi Medvédev, y en el Instituto Stróganov en Moscú. Él hizo sus primeros dibujos abstractos, influido por el Suprematismo de Kasimir Malevich, en 1915. Al siguiente año, participó en "The Store", exhibición organizada por Vladímir Tatlin, quien ejerció una gran influencia en su desarrollo como artista.Ródchenko, como muchos miembros del avant-garde, se alinearon con los bolcheviques, que lo nombraron Director de la Oficina del Museo y del Fondo de compras en 1920. Fue el responsable de la reorganización de las escuelas de arte y de los museos. Entre 1920 y 1930 también impartió clases en el Estado Superior de Talleres de Artistas-Técnicos(Vjutemas/Vjutein).Ródchenko volvió a pintar a finales de 1930 y paró de fotografiar en 1942, produciendo cuadros expresionistas abstractos en los años 40. Él continuó organizando exhibiciones de fotografías para el gobierno durante estos años. Murió en Moscú en 1956.ObraDe 1918 a 1921, Ródchenko, bajo influencia de Malévich y Tatlin, creaba series de premisas formales, como la superficie plana, la factura, la línea, la mancha, y también bajo el influjo de la revolución bolchevique, pues su obra tenía como objetivo una sociedad ordenada.Ródchenko se hace famoso en los debates artísticos, de donde surge el Movimiento Constructivista, el artista se convierte en un ingeniero visual.La nueva política económica provocó que la avant-garde perdiera el privilegio artístico, teniendo que competir contra otros grupos artísticos. En 1923, deciden afrontar esta pérdida de privilegio fundando el Frente de Artistas de Izquierda, también llamado LEF (Lévyi Front iskusstv). Ródchenko contribuyó en este grupo tanto teóricamente (escribiendo artículos), como prácticamente (realizando portadas para las revistas del grupo).Ródchenko exploró el fotomontaje para el diseño de carteles y cubiertas de libros. Lo usó como una alternativa a la pintura y que se beneficiaba de su reproducción automática que le hacía tener una audiencia masiva. Fue en 1924, al emplear materiales cada vez más peculiares para sus fotomontajes cuando recurrió al empleo de la cámara fotográfica.En el campo de la fotografía Ródchenko fue también célebre. Como la cámara permitía tomar fotos en cualquier posición, dedujo que la fotografía correspondía a la actividad del ojo humano. De esta forma usó la cámara fotográfica para crear sensaciones desconcertantes, a la vez que usaba las fotografías con un objetivo de cmpromiso social. Formalmente, las fotografías solían ser o planos cenitales o planos nadir, planos opuestos totalmente al Pictorialismo y que impactaban al espectador, causándole dificultades en reconocer el objeto fotografiado. Fue así como Ródchenko se propuso liberar a la fotografía de todas las convenciones y puntos de vista comunes en la época, lo que le convirtió en uno de los más importantes pioneros del constructivismo fotográfico."Si se desea enseñar al ojo humano a ver de una forma nueva, es necesario mostrarle los objetos cotidianos y familiares bajo perspectivas y ángulos totalmente inesperados y en situaciones inesperadas; los objetos nuevos deberían ser fotografiados desde diferentes ángulos, para ofrecer una representación completa del objeto". En 1928 Ródchenko escribió sobre la fotografía un manifiesto en el que dijo esas palabras, justificando por tanto el uso de esos planos tan poco usuales. Estos planos fueron hechos gracias a la cámara Leica, que tenía un formato muy manejable para esos puntos de vistas tan difíciles de ejecutar.Tuvo varias etapas fotográficas, desde la etapa del abstracto (etapa en la que llego a la fotografía no figurativa), hasta etapas en las que fotografiaba actividades deportivas, paisajes o coreografías. Fundó un grupo llamado "Octubre", del que formaban parte fotógrafos y artistas del cine. También trabajó en la revista "SSR na stroike", fundada junto a su esposa Stepánova.

FORMULAS DE FRACTALES

f (zn) = zn+1= z3n+ c ,

z(n+1) = fn(z(n)*z(n))

fn+fn(pix)
c=z(0)=
z(n+1)=sin(z)+p*sqr(c)
fn*fn
z(0)=
z(n+1)=sin(n)*sqr(n)
fn*z+z
z(0)=z(n+1)=p1*sin(z(n))*z(n)+p2*z(n)
sqr(fn)
z(0)=z(n+1)=sin(z(n))2
sqr(1/fn)
z(0)=z(n+1)=(1/sin(z(n))2
fn+fn
z(0)=
z(n+1)=p1*sin(z(n))+p2*sqr(z(n))
spider
c(0)=z(0)=z(n+1)=z(n)2+c(n);
c(n+1)=c(n)/2+z(n+1)
tetrate
z(0)=c
z(n+1)=cz(n)
manowar
c=z1(0)=z(0)=z(n+1)=z(n)2+z1(n)+c; z1(n+1)=z(n)

Fractales

Mosaicos y teselaciones

MOSAICOS Y TESELACIONES:Una pieza es teselante cuando es posible acoplarla entre sí con otras idénticas a ella sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de mosaico o teselación.Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, etc..

Baarn Holanda, 27 de marzo de 1972), artista holandés, conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos imaginarios.

Siendo el hijo más joven de un ingeniero hidráulico. Su profesor F.W. van der Haagen le enseñó la técnica de los grabados en linóleo y fue una gran influencia para el joven Escher.

Georg Cantor y teoria de los conjuntos

Georg Cantor (n. San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, m. Halle, 6 de enero de 1918 ) fue matemático alemán, inventor con Dedekind de la teoría de conjuntos fue capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos













Teoría de conjuntos

Diagrama de Venn que muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y su diferencia
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.